Asal Sayıların Oluşumu ve Özellikleri

Asal sayıların oluşumu ve özellikleri. Biraz garip bir tabir ama bu tabir bir öğrenciye verilen performans ödevinin konusu. Öğrenci bu konuyu araştıracak, tarayacak, okuyup anlayacak ve nihayetinde bu başlığa uygun bir makale ortaya koyacak. Yahud tanıdıklara haber verilecek ve civarda matematikten anlayan birini arayacaklar. Meseleyi eğitim sistemini de sorgulayın demeye getirmek isterdim ama uğraşmaya değer bulmuyorum.

Asal sayıların oluşumu ve özellikleri hakkında hazırlamış olduğum makaleyi bu konuda ödev arayan velilerin istifadesine sunuyorum. Her cümlenin kesinlikle doğru olduğuna garanti veremem ama bir hata varsa da sıradan bir matematik öğretmeninin didik didik araştımasıyla farkedemeyeceği kadar küçük olmalı. Buradan indirebilirsiniz. Çocuklar sokakta oynasınlar diye.

Asal Sayıların Oluşumu ve Özellikleri

Asal sayıların Yapısı
Asal sayılar yalnız ve yalnız iki pozitif tamsayı böleni olan doğal sayılardır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de tanımlanabilir. Buna göre en küçük asal sayı 2dir. 2den sonra gelen asal sayılar 3, 5 ,7,.. şeklinde devam eder. 2nin dışında çift asal sayı yoktur. Olsaydı zaten kendisinden ve 1 sayısından başka 2 ile bölünmüş olacaktı. Binden küçük 168 asal sayı vardır ve şunlardır:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

Bir sayının asal olmadığını ispat etmek için onun birden büyük ve kendisinden başka bir tamsayıya bölündüğünü göstermek kâfidir. Mesela 144 sayısının 2 ile bölündüğünü biliyoruz. Ancak bir sayının, mesela 143 sayısının, asal olduğunu ispat etmek için 2’den başlayıp 143’e kadar bütün sayıları denemek ve onun hiçbiriyle bölünemediğini göstermek gerekir.

Bir sayının asal olduğunu turnusol kâğıdı gibi gösteren bir formül bulunamamıştır fakat 2’den başlayıp 143’e kadar da bütün sayıları denemenin gerek olmadığını sadece belli sayıların denenmesinin yeterli olduğunu gösteren teoriler geliştirilmiştir. Bu teorilere göre 143’e kadar değil sadece 143’ün kareköküne kadar olan sayıların ve hatta bunların da sadece asal olanlarının 143’ü bölmediği gösterilse 143 sayısının asal olduğu söylenebilir.

Sırayla 2, 3, 5, 7 ve 11 sayılarının 143’ü bölüp bölmediğine bakıldığında 11’in bu sayıyı böldüğü, 143 = 11 x 13 olduğu ve 143’ün asal olmadığı bulunur. Sayılar büyüdükçe onların asal olduğunu göstermek zorlaşır. Mesela 32416190071 sayısının asal olduğunu göstermek bir insanın birkaç saatini alabilir. Sayılar büyüdükçe bilgisayarların bile birkaç haftada test etmeyi bitiremeyeceği bir hal alır. Mesela 300 basamaklı bir asal sayı şöyledir:

303956878386401977405765866929034577458793993314348263094772646453283062722701277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499698366071906766440037074217117805690872792848149112022286332144876183376326512083574821647933992961249917319836219304274280243803104015000563790123

Asal Sayıların Çeşitleri
Asal sayıların tarihi matematiğin tarihi kadar eskidir. Eski Mısır’ın dahi asal sayılardan haberdar olduğuna dair işaretler vardır. Daha sonra gelen Eski Yunan’da ise asal sayılar hakkında çalışmalar yapıldığına dair kesin kanıtlar vardır. Mesela M.Ö. 300 yıllarında Öklid’in asal sayıların sonsuz olduğunu ispat ettiği “Elements” kitabı günümüze ulaşmıştır. M.S. 3. Yüzyılda ortaya çıkan “Chinese Remainder Theorem” de asal sayılarla ilişkilidir ama doğrudan asal sayılar hakkında yapılan çalışmaları düşünürsek Öklid’den sonra ise 17. yüzyıla kadar bu konuda önemli bir gelişme olmadığı söylenebilir.

Son yüzyıllarda ise bir sayının asal olup olmadığını anlamak, asal sayıların tümünü bir formüle oturtmak veya bazı asal sayıları üreten bir formül bulmak matematikçilerin uğraşları arasına girmiştir. 17. Yüzyılda Fermat 2²ⁿ+1 şeklindeki bütün sayıların asal olduğunu iddia etti ve n yerine 1, 2, 3, 4 yazınca formül tutuyordu. Ancak n yerine 5 yazıldığında elde edilen 232 + 1 sayısının 641 ile bölündüğünü farketmedi. Fermat’ın iddiası yanlış da çıksa asal sayılar konusuna bir katkısı olduğu için 2²ⁿ+1 şeklindeki sayılara Fermat sayısı adı verildi. Çok sonraları Euler, ilk dört Fermat sayısından sonra gelen Fermat sayılarının hiçbirinin asal olmadığını ispat etti.

Yine 17. Yüzyılda Fransız rahip Marin Mersenne de p asal sayı olmak üzere 2p – 1 şeklindeki sayıları inceledi. Bu sayılardan önemli bir kısmı asal çıkıyordu. Asal sayıların bir formülünü bulmada önemli bir adım olduğu için bu sayılara Mersenne sayıları adı verildi. Asal olanlarına da doğal olarak Mersenne asal sayıları dendi.

Şu ana kadar asal sayı üretmek için bir formül bulunabilmiş değil. Hatta polinom şeklinde bir formül bulunamayacağı bile ispat edilmiş durumda. Bilgisayarlar hızlandıkça deneme yanılma yoluyla yeni asal sayılar keşfediliyor. Yalnız bu denemelerde her sayı incelenmeyip asal sayı olma ihtimali yüksek olanlara bakılıyor. Mersenne sayıları da bu noktada oldukça yardımcı. Aşağıdaki tabloda yıllara göre kaç basamaklı Mersenne asal sayısının keşfedildiği gösteriliyor. Bilgisayarların yeni yeni çıkmaya başladığı zamanlarda bulunan 100 basamaklı sayılar bir tanesi bile günlük hayatta kullandığımız sayılardan epey büyük.

Mersenne sayılarından başka n doğal sayı olmak üzere n!-1 şeklindeki sayılardan da asal sayı aranmaktadır. Bu şekle uyan asal sayılara da faktöriyel asal sayı denmektedir.

Asal Sayıların Önemi
Asal sayıların matematikçiler için neden önemli olduğu hırs, başarma tutkusu ve tarihe adını yazmakla açıklanabilir. Günümüzde ise asal sayı devletler ve bankalar için bir güç yarışına dönmüştür. Asal sayı, şifreleme biliminin temelidir. Bir şifre de deneme yanılma yoluyla eninde sonunda çözülebilir. En büyük asal sayıyı bulma yarışı ise o asal sayı kullanılarak yapılan şifrelemeyi çözme süresini uzatmaya yaramaktadır. Mesela günümüzün bilgisayarları ile on yılda kırılabilecek bir şifre yeni nesil bilgisayarlar ile bir haftada kırılabilir. Bu yüzden bilgisayarların işlem hızı arttıkça daha büyük asal sayılar bulmak gerekmektedir. Zaten bilgisayarlar hızlandıkça bu gereken büyük sayılar bulunmaktadır. Şu da var ki, elde ne kadar çok asal sayı olursa karşıdakinin şifresini çözmesi de o kadar kolay olur. Mesela yüzüncü basamağa kadar bütün asal sayıları bilen birisi için on basamaklı bir asal sayı ile şifrelenmiş bir şifreyi çözmek zor olmayacaktır. Elindeki tabloya bakarak hiç uğraşmadan cevabı söyleyiverecektir.

Kaynaklar

• http://www.forumdas.net/matematik/asal-sayilarin-olusumu-cesitleri-hakkinda-bilgi-116761/
• http://tr.wikipedia.org/wiki/Asal_say%C4%B1lar
• http://ikokmen.blogcu.com/asal-sayilarin-olusumu-ve-cesitleri/4361694
• http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
• http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime
• http://www.bigprimes.net/archive/prime/14000000/
• http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm http://primes.utm.edu/largest.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime