31 Mart 2012 Cumartesi

Öğrenme Psikolojisinde Genelleme

Aşağıdaki yazı şu konulara açıklık getirmeyi hedeflemektedir:
  • Uyarıcı Genellemesi
  • İkinci Dereceden Koşullanma
  • Tepki Genellemesi
  • Klasik Koşullanma
  • Edimsel Koşullanma
  • Ayırt Edici Uyarıcı
  • Laiklik İlkesi (öyle işte)
  • Öğrenmenin Genellenmesi
  • Tepki Analojisi
  • Duyusal Ön Koşullanma
  • Garcia Etkisi
  • Olumsuz Tat Koşullanması
Her defasında belirtirim: günübirlik tartışmalar sonucu ortaya çıkıp çabuk eskiyen sözleri sevmem. Eskimeyen, her daim geçerli olan bilgiler öğrenmeye değerdir benim gözümde. Biraz daimicilik var bende yani. Ama zaman geliyor insan içinde biriken fikirleri, velev güncel bilgilere dayalı olsun, yazmadan edemiyor ve zaman geliyor yazıları popüler konulardan olmadığı için okunmayan yazarlar bu duruma içerliyor.

Önce kimse yabancı kalmasın diye durum hakkında kısa bir bilgilendirme yapayım: Üniversitelerden mezun olan öğretmen adayları milli eğitimde öğretmen olmak için girdikleri ve türkçe, tarih, coğrafya, matematik ve eğitim bilimlerinden oluşan molası hariç beş buçuk saat süren standart test şeklindeki KPSS isimli kapsamlı bir sınavdan aldıkları puanlara göre okullara atanıyor. Bu yazarın neslinin kulaktan duyduğuna göre öncelerden dayılar vasıtasıyla atamalar oluyormuş ve KPSS sınavı, zamanına göre büyük bir ilerlemeymiş. Ancak bu sıralar üniversitelerin verdiği öğretmen adayı mezun sayısı milli eğitimin atayabildiği öğretmen sayısından çok fazla olduğu için atanmak isteyip de atanamayan ve üniversiteyi bitirip de -üniversiteye hazırlanırken bir sene boyunca yaptığı gibi- bir dershaneye yazılarak mezkur sınava çalışan gençler çoğaldığı ve rekabet arttığı için sınavı alt edebilecek en ufak bilgi kırıntıları değer kazandı.

Mezkur sınavı alt edebilecek ama yakın bir zamanda mezkur sınavla beraber tarih sahnesinden silinebilecek bilgi kırıntılarından biri de eğitim bilimleri bölümüne ait "genelleme" terimi. Tarih sahnesinden silinmeden önce birilerinin daha bu terimin ne anlamlara geldiğini anlamaya ihtiyacı olabilir diye bu anlamları açıklamak istiyorum.

Öğrenme psikolojisinde "genelleme", uyarıcı genellemesi ve tepki genellemesi olmak üzere iki kısma ayrılır. Uyarıcı genellemesi, klasik koşullanmada koşullu uyarıcıya benzeyen bir uyarıcının da tepkiyi ortaya çıkarmasıdır. Mesela zil sesine salya tepkisi vermek üzere koşullanmış bir köpeğin çan ve çıngırak sesine karşı da salya tepkisi vermesidir. Zil sesiyle çan veya çıngırak sesini bir arada duymuş olması, özellikle koşullanma sırasında, organizmanın uyarıcı genellemesi yapmasını kolaylaştıracaktır.

Uyarıcı genellemesindeki durum bana ikinci dereceden koşullanmayı hatırlattı. Yine zil sesine salya tepkisi vermeye koşullanmış bir köpek ele alalım. Köpeğe önce ışık uyarıcısı verilip sonra zil çalınmak suretiyle yapılan koşullanmada bu zavallı köpek, zil sesine veriyor olduğu salya tepkisini artık ışık uyarıcısına da vermeye başlayacak. Ortada et yok. Et mi? Ben etten falan bahsetmedim şimdiye kadar. Et ancak köpeği zil sesine salya tepkisi vermesi için koşullarken kullanılmıştı. Şimdi ikinci dereceden bir koşullanma var. Zil ve ışık farklı şeyler bulunduğundan köpeğin zil ile ışığı genellemesi, uyarıcı genellemesi yapması mümkün değil ancak böyle ikinci dereceden koşullanma olabilir.

Şimdi şöyle bir soru gelebilir: Peki ikinci dereceden koşullamada ışık uyarıcısı yerine zil sesine benzeyen çan sesini koysaydık uyarıcı genellemesi mi olur, ikinci dereceden koşullama mı? Al işte! Biz sözü geçen sınava çalışırken böyle inceliklerle uğraşıyor, böyle bilim yapıyorduk değerli okuyucu. Ne Pavlov'un ne Skinner'ın umurundaydı böyle bir duruma ne isim verilebileceği. Hatta ictimai hayatta incelik bizim neyimizeydi ama bu nüansı kavramalıydık. "Eğitim şart!" idi ne de olsa.

Tepki genellemesi deyince bu sefer tepkiyi genellemek gerektiği düşünülebilir. Mesela kendi başına jöle süren bir çocuk köpeğinin başına da jöle sürerse iki farklı uyarıcı olan insan başı ile köpek başı uyarıcılarını genellediğinden uyarıcı genellemesi; jöle sürmek ile limon sürmek tepkilerini genelleyip jöle bittiğinde kendi başına limon sürerse tepki genellemesi olur gibi düşünülebilir. Ama genellikle tepki genellemesinde durum tepki genellemesinden çok durum genellemesidir. Nasıl laf ama!

Tepki genellemesi aslında durum genellemesidir. Edimsel koşullanmada organizmanın belli bir durumda gösterdiği bir tepkiyi  farklı birçok duruma genellemesidir. Oyuncakçıya gittiğinde bir oyuncağı ağlayarak elde eden bir çocuğun artık çikolata reyonunda çikolata, şekerci dükkanında şeker istemek için ağlaması, durumların genellemesidir. Skinner'a göre davranışlar sonucunda karşılaşılan cevaplar (pekiştirme veya ceza) genellemeye neden olur, organizma yeni durumlarda da pekiştirme beklentisi içine girer. Bizim örneğimizde de çocuğun ağlama davranışı pekiştirilmişti.

Tepki genellemesini daha iyi anlamak için edimsel koşullanmadaki "durum"u daha iyi anlamamız gerekiyor. Edimsel koşullanma ayırt edici uyarıcı ile başlar. Ayırt edici uyarıcı davranışın yapılma zamanını ve zeminini belirleyen uyarıcılardır. Bu uyarıcılar her ne kadar bir davranışın yapılma olasılığını artırsa da kişiyi klasik koşullanmadaki gibi irade dışı refleksif bir davranışa itmez. Edimsel koşullanmaya göre davranış bir kere ortaya çıktıktan sonra artık pekiştirilebilir ve "tepki › pekiştireç (uyarıcı)" sırası gerçekleşebilir. En başta ayırt edici uyarıcı bulunması şart da değildir ve bulunsa da klasik koşullanmadaki "uyarıcı › tepki" oldu yaygarası yapmaya lüzum yoktur.

Tepki genellemesine geri dönüp durumu şöyle bağlayalım. Ezan okunması namaz kılmak için bir ayırt edici uyarıcıdır. Kişi namazını kılıp bu dünyada da manevi bir pekiştireç alabilir. Bunun üzerine kişi elindeki fırsatları değerlendirmek için kuşluk vaktinde de abdest alıp namaz kılar. Ezan okunması durumunu kuşluk vaktinin girmesi durumuna genellemiştir. Buradaki durumlarda da, yani ayırt edici uyarıcılarda, kişinin iradesi söz konusudur. Örneğimiz edimsel koşullanma örneği olduğundan mesele durum genellemesi meselesidir, yani o kafa karıştırıcı tabirle tepki genellemesidir.

Namaz örneğini beğenmediniz mi? Burada bilim yapıyoruz (ya da bilim diye elimize tutuşturulanlarla muasır medeniyetler seviyesine çıkmaya çalışıyoruz). Namaz niyaz deyince uğursuzluk geleceğine inananlar bu batıl inançlarını bir kenara bırakıp da gelsinler. KPSS tarih kitabıma göre Kemal Paşa'nın laiklik ilkesinin aleni hedeflerinden biri de sosyal hayatta dinin etkisinin azaltılmasıdır, toplumsal alanda laikleşmektir. Laiklik toplumda din ve vicdan özgürlüğü sağlanması olduğuna göre... Bir hata oldu. Günübirlik tartışmaları sevmediğimi söylemiş miydim?

Tepki genellemesi için "bir durum birden fazla tepki ortaya çıkarmaktadır" gibi bir tanımla karşılaşabilirsiniz. Matematik dersinde çok çalışıp iyi bir not alan bir öğrencinin Fizik, Kimya ve Biyoloji derslerinde de çok çalışmaya başlaması yukarıdaki açıklamalarımıza göre tepki genellemesidir. Burada matematik dersi durumu başka derslere de genellenmiştir. Paragrafın başındaki tanıma göre düşünecek olursak öğrencinin matematik dersinden olumlu pekiştireç almasının fizik dersine çok çalışma, kimya dersine çok çalışma, biyoloji dersine çok çalışma tepkilerini ortaya çıkardığını söyleyebiliriz. Ancak bu tanım "bir pekiştireç (uyarıcı) birden fazla tepki ortaya çıkarmaktadır" şeklinde olsaydı da bizim edimsel koşullanmadaki "durum" tabirimizle karışmasaydı iyi olurdu.

Verilen bir örnekteki olayın klasik koşullanma mı edimsel koşullanma mı olduğunun çözülememesi, uyarıcı genellemesi ile tepki genellemsi arasında bir fark görülememesine neden olacaktır. Mesela az önceki örnekte dersleri birer uyarıcı olarak düşünürseniz öğrencinin Matematik dersi uyarıcısını ders olan diğer uyarıcılara genellediğini, dolayısıyla burada uyarıcı genellemesi olduğunu iddia edip hataya düşebilirsiniz; düşmeyiniz.

Tepki genellemesi, durum genellemesi olduğu için farklı durumlara öğrenmenin genellenmesidir de diyebiliriz. Mesela ders zili çaldığı halde sınıfa girmeyip bahçede oynamaya devam ettiği için öğretmeninden azar işiten bir çocuğun haftasonu gittiği sinemada filmin başlayacağını belirten zilin sesini duyar duymaz annesinin elini tutarak salona doğru koşmaya başlaması öğrenmenin genellenmesidir. Önce zil sesi sonra öğretmenin azarı geldiği için bu öğrenci klasik koşullanma ile artık zile korku tepkisi vermeye başlıyor değildir; belki de içten içe öyledir, bilmiyoruz. Bu örnekte önemli olan öğrenilmiş davranış, korku değil öğrencinin içeri girmesidir. Zil çalması ise sadece ayırt edici uyarıcıdır, davranışın yapılma zamanıdır. Bu öğrenci haftasonuna kadar her zil çaldığında içeri girme davranışı göstererek azar yemekten kurtulup olumsuz pekiştirmeyle davranışı pekiştirilmiş olabilir. Sinemada da azar yemekten çekinip olumsuz pekiştirme beklentisiyle içeri girmiştir.

Thorndike'ın tepki analojisi diye bir tabiri de kafa karıştırıcı olabilir. Tepki analojisi benzetme yoluyla tepkide bulunmadır. Bir davranışın öğrenildiği ortamın davranışın sergileneceği ortama mümkün olduğunca çok benzemesinin bu davranışı sergilemekteki başarıyı artırması tepki analojisidir. Ortam deyince akla gelen ilk şeyin ortamdaki uyarıcılar olması gerekir. Yaramaz çocuğun, içerisinde hiçbir uyarıcı bulunmayan ortama alınıp davranışları üzerinde düşünmesinin sağlanması olan ara verme yöntemini düşündüğünüzde ortam ile uyarıcılar arasındaki sıkı ilişkiyi göreceksiniz. Ayrıca Thorndike'ın Pavlov'un takipçisi olduğunu da hesaba kattığınızda tepki analojisinin klasik koşullanmadaki uyarıcı genellemesi olduğuna şüpheniz kalmayacak. Ortamların genellenmesine durumların genellemesi diyesi geliyor insanın. Hatta tepki analojisinin tepki genellemesi ile kesin sınırları olmayan örnekleri var. Ancak son kertede bunu uyarıcı genellemesi olarak kabul etmek kişinin kârına olup dünyasını kurtarabilir.

Birbirine karıştırılabilen terimlerden "uyarıcı genellemesi", "ikinci dereceden koşullanma", "tepki genellemesi", ve en son "tepki analojisi"ni anlattıktan sonra bunlara "duyusal ön koşullanma"yı ve "olumsuz tat koşullanması"nı da ekleyip bu yazıyı bitirmek istiyorum.

Köksöz ve ruhsuz olduklarından mı nedendir duyusal, duyuşsal ve duygusal kelimeleri karıştırılıp birbirinin yerine kullanılıyor, kullanılmamalıdır. Duyusal ön koşullanma adı üstündedir; bir koşullanma olayından önce beş duyu ile ilgili bir koşullanmayı kastettiği açıktır. Yani zil sesi ve ışık, asıl koşullanmadan önce birbiriyle ilişkilendirilmiştir. Önce zil sonra ışık vermekle tam bir koşullanma olduğu söylenemez lakin köpeği zil sesine salya tepkisi vermek üzere koşulladığınızda köpek artık ışığı gördüğünde de salya tepkisi vermeye başlayacaktır. Bu durumu açıklayan en iyi tabir duyusal ön koşullama olsa gerek.

Yaının başından beri salya akıtan köpeklerden bahsettikten sonra artık sizde köpek korkusu hasıl olsa ve bir zamanlar köpek beslediğini bildiğiniz bir adama da korku tepkisi vermeye başlasanız olay duyusal ön koşullanmadır. Ama eğer yarın komşunuzu bir köpek gezdirirken görüp artık bu komşunuzdan korkmaya başlasanız olay ikinci derece koşullanmadır. Çünkü siz bir sebepten ötürü köpekten korkmaya başlamışsınız, daha sonra köpekten ötürü komşunuzdan korkmaya başlamışsınız. Dıdının dıdısı yani. Bu örneklerin genelleme ile alakası yok. Olaylar klasik koşullanma çerçevesinde gerçekleştiği için tepki genellemesini eleyin bir kere. Uyarıcı genellemesi olması için ise uyarıcıların az çok benzer olması lazım. Bir adamı köpeğe benzetip de korkma tepkisi verseniz mesela...

Bazı çevreler bir de Garcia etkisini işin içine katıp ortalığı bulandırıyor. Garcia etkisi, olumsuz tat koşullanmasıdır. Bir fare içtiği plastik kokulu sudan zehirlense bir daha plastik kokulu kaptan su içmez, çünkü ölmüştür. Bu farenin sadece karın ağrısıyla olayı atlattığını farzedersek bu fare bir daha plastik kokulu suya yanaşmayacaktır. Garcia'nın yaptığı deneyler bunun üzerinedir. Klasik koşullanmada iki uyarıcının kısa zaman aralığıyla verilmesi gerekiyordu ancak Garcia'nın deneylerinde karın ağrısı yaşayan hayvan sekiz saat önce içtiği plastik kokulu suya karşı koşullanıyor. Hastalık ve rahatsızlıkla ilişkilendirilemeyen olaylar Garcia etkisi değildir. Aksi halde buraya kadar anlattıklarımızın hepsi Garcia etkisi olmuş olur. Namazı niyazı duyunca hazımsızlık yaşama örneği bile.

Bu arada Watson'un en son ve en sık yapılma ilkesinin anatomisini de çözdüm galiba. Dine sövüp sayma zikirlerini (tekrar ilkesi) tamamlayan bir kişi bu hal üzere kaldığında (sonunculuk ilkesi) şu kısır döngüye girmektedir: Namazı niyazı duyunca hipertansiyon yaşama, böylece Garcia etkisine maruz kalma, bundan sonra namaz niyaz duyduğunda daha fazla hipertansiyon ve bulantı yaşama, yeni bir Garcia etkisine girme... Ne demişti Watson: "En son ortaya konan tepkinin tekrar yapılma ihtimali daha fazladır." Bana kızmayın çünkü Watson'a göre her davranış uyarıcı tepki bağı içinde gerçekleştiğinden kişisel olarak davranışlarımızdan sorumlu olamayız. Gerçi ben katılmıyorum kendisine zira bizim irademizin olduğu muhakkaktır. İrademiz varsa davranışlarımızın hesabını vermeyecek de olamayız. O halde kızarsanız kızın.

1 Mart 2012 Perşembe

Asal Sayıların Oluşumu ve Özellikleri

Asal sayıların oluşumu ve özellikleri. Biraz garip bir tabir ama bu tabir bir öğrenciye verilen performans ödevinin konusu. Öğrenci bu konuyu araştıracak, tarayacak, okuyup anlayacak ve nihayetinde bu başlığa uygun bir makale ortaya koyacak. Yahud tanıdıklara haber verilecek ve civarda matematikten anlayan birini arayacaklar. Meseleyi eğitim sistemini de sorgulayın demeye getirmek isterdim ama uğraşmaya değer bulmuyorum.

Asal sayıların oluşumu ve özellikleri hakkında hazırlamış olduğum makaleyi bu konuda ödev arayan velilerin istifadesine sunuyorum. Her cümlenin kesinlikle doğru olduğuna garanti veremem ama bir hata varsa da sıradan bir matematik öğretmeninin didik didik araştımasıyla farkedemeyeceği kadar küçük olmalı. Buradan indirebilirsiniz. Çocuklar sokakta oynasınlar diye.


Asal sayıların Yapısı
Asal sayılar yalnız ve yalnız iki pozitif tamsayı böleni olan doğal sayılardır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de tanımlanabilir. Buna göre en küçük asal sayı 2dir. 2den sonra gelen asal sayılar 3, 5 ,7,.. şeklinde devam eder. 2nin dışında çift asal sayı yoktur. Olsaydı zaten kendisinden ve 1 sayısından başka 2 ile bölünmüş olacaktı. Binden küçük 168 asal sayı vardır ve şunlardır:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
Bir sayının asal olmadığını ispat etmek için onun birden büyük ve kendisinden başka bir tamsayıya bölündüğünü göstermek kâfidir. Mesela 144 sayısının 2 ile bölündüğünü biliyoruz. Ancak bir sayının, mesela 143 sayısının, asal olduğunu ispat etmek için 2’den başlayıp 143’e kadar bütün sayıları denemek ve onun hiçbiriyle bölünemediğini göstermek gerekir.

Bir sayının asal olduğunu turnusol kâğıdı gibi gösteren bir formül bulunamamıştır fakat 2’den başlayıp 143’e kadar da bütün sayıları denemenin gerek olmadığını sadece belli sayıların denenmesinin yeterli olduğunu gösteren teoriler geliştirilmiştir. Bu teorilere göre 143’e kadar değil sadece 143’ün kareköküne kadar olan sayıların ve hatta bunların da sadece asal olanlarının 143’ü bölmediği gösterilse 143 sayısının asal olduğu söylenebilir.

Sırayla 2, 3, 5, 7 ve 11 sayılarının 143’ü bölüp bölmediğine bakıldığında 11’in bu sayıyı böldüğü, 143 = 11 x 13 olduğu ve 143’ün asal olmadığı bulunur. Sayılar büyüdükçe onların asal olduğunu göstermek zorlaşır. Mesela 32416190071 sayısının asal olduğunu göstermek bir insanın birkaç saatini alabilir. Sayılar büyüdükçe bilgisayarların bile birkaç haftada test etmeyi bitiremeyeceği bir hal alır. Mesela 300 basamaklı bir asal sayı şöyledir:
303956878386401977405765866929034577458793993314348263094772646453283062722701277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499698366071906766440037074217117805690872792848149112022286332144876183376326512083574821647933992961249917319836219304274280243803104015000563790123
Asal Sayıların Çeşitleri
Asal sayıların tarihi matematiğin tarihi kadar eskidir. Eski Mısır’ın dahi asal sayılardan haberdar olduğuna dair işaretler vardır. Daha sonra gelen Eski Yunan’da ise asal sayılar hakkında çalışmalar yapıldığına dair kesin kanıtlar vardır. Mesela M.Ö. 300 yıllarında Öklid’in asal sayıların sonsuz olduğunu ispat ettiği “Elements” kitabı günümüze ulaşmıştır. M.S. 3. Yüzyılda ortaya çıkan “Chinese Remainder Theorem” de asal sayılarla ilişkilidir ama doğrudan asal sayılar hakkında yapılan çalışmaları düşünürsek Öklid’den sonra ise 17. yüzyıla kadar bu konuda önemli bir gelişme olmadığı söylenebilir.

Son yüzyıllarda ise bir sayının asal olup olmadığını anlamak, asal sayıların tümünü bir formüle oturtmak veya bazı asal sayıları üreten bir formül bulmak matematikçilerin uğraşları arasına girmiştir. 17. Yüzyılda Fermat 22n+1 şeklindeki bütün sayıların asal olduğunu iddia etti ve n yerine 1, 2, 3, 4 yazınca formül tutuyordu. Ancak n yerine 5 yazıldığında elde edilen 232 + 1 sayısının 641 ile bölündüğünü farketmedi. Fermat’ın iddiası yanlış da çıksa asal sayılar konusuna bir katkısı olduğu için 22n+1 şeklindeki sayılara Fermat sayısı adı verildi. Çok sonraları Euler, ilk dört Fermat sayısından sonra gelen Fermat sayılarının hiçbirinin asal olmadığını ispat etti.

Yine 17. Yüzyılda Fransız rahip Marin Mersenne de p asal sayı olmak üzere 2p – 1 şeklindeki sayıları inceledi. Bu sayılardan önemli bir kısmı asal çıkıyordu. Asal sayıların bir formülünü bulmada önemli bir adım olduğu için bu sayılara Mersenne sayıları adı verildi. Asal olanlarına da doğal olarak Mersenne asal sayıları dendi.

Şu ana kadar asal sayı üretmek için bir formül bulunabilmiş değil. Hatta polinom şeklinde bir formül bulunamayacağı bile ispat edilmiş durumda. Bilgisayarlar hızlandıkça deneme yanılma yoluyla yeni asal sayılar keşfediliyor. Yalnız bu denemelerde her sayı incelenmeyip asal sayı olma ihtimali yüksek olanlara bakılıyor. Mersenne sayıları da bu noktada oldukça yardımcı. Aşağıdaki tabloda yıllara göre kaç basamaklı Mersenne asal sayısının keşfedildiği gösteriliyor. Bilgisayarların yeni yeni çıkmaya başladığı zamanlarda bulunan 100 basamaklı sayılar bir tanesi bile günlük hayatta kullandığımız sayılardan epey büyük.
Mersenne sayılarından başka n doğal sayı olmak üzere n!-1 şeklindeki sayılardan da asal sayı aranmaktadır. Bu şekle uyan asal sayılara da faktöriyel asal sayı denmektedir.

Asal Sayıların Önemi
Asal sayıların matematikçiler için neden önemli olduğu hırs, başarma tutkusu ve tarihe adını yazmakla açıklanabilir. Günümüzde ise asal sayı devletler ve bankalar için bir güç yarışına dönmüştür. Asal sayı, şifreleme biliminin temelidir. Bir şifre de deneme yanılma yoluyla eninde sonunda çözülebilir. En büyük asal sayıyı bulma yarışı ise o asal sayı kullanılarak yapılan şifrelemeyi çözme süresini uzatmaya yaramaktadır. Mesela günümüzün bilgisayarları ile on yılda kırılabilecek bir şifre yeni nesil bilgisayarlar ile bir haftada kırılabilir. Bu yüzden bilgisayarların işlem hızı arttıkça daha büyük asal sayılar bulmak gerekmektedir. Zaten bilgisayarlar hızlandıkça bu gereken büyük sayılar bulunmaktadır. Şu da var ki, elde ne kadar çok asal sayı olursa karşıdakinin şifresini çözmesi de o kadar kolay olur. Mesela yüzüncü basamağa kadar bütün asal sayıları bilen birisi için on basamaklı bir asal sayı ile şifrelenmiş bir şifreyi çözmek zor olmayacaktır. Elindeki tabloya bakarak hiç uğraşmadan cevabı söyleyiverecektir.

Kaynaklar
  • http://www.forumdas.net/matematik/asal-sayilarin-olusumu-cesitleri-hakkinda-bilgi-116761/
  • http://tr.wikipedia.org/wiki/Asal_say%C4%B1lar
  • http://ikokmen.blogcu.com/asal-sayilarin-olusumu-ve-cesitleri/4361694
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime
  • http://www.bigprimes.net/archive/prime/14000000/
  • http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm http://primes.utm.edu/largest.html
  • http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_prime